Réserves de pétrole : erreur d'étudiant de première année

[Raminagrobis]

ce message vise un relever un soucis mathématique avec la définition des réserves de pétrole.

Pour tout le monde, cela parait évident : les ingénieurs pétroliers évaluent des réserves pour chaque gisement, puis on somme les réserves de tous les gisements d'un pays, puis celles de tous les pays , pour avoir les réserves mondiales.

C'est bien comme que les compagnies pétrolières, les gouvernements, l'EIA, l'OPEP, et ainsi de suite procèdent.

Sauf que c'est une erreur.

Cette affirmation parait heurter la logique élémentaire. Pour l'expliquer, il faut revenir sur la définition des réserves.
La quantité de pétrole que l'on pourra extraire d'un gisement n'est pas connue exactement, on procède en général a trois

estimations, basse, moyenne haute, que l'on note P90, P50, P10,et que l'on surnomme réserves "prouvées", "probables" et "possibles".

Ainsi, si l'on écrit qu'un gisement a des réserves prouvées de 1200 millions de barrils et possibles de 1600 millions de barrils, il faut lire "il y a 90% de chances qu'on extraie au moins 1200 Mb de ce gisements, et 10% de chances qu'on extraie au moins 1600 millions de barrils".

On a donc en réalité donné deux quantiles de la variable aléatoire "quantité de pétrole qui sera extrait".

Hors, une propriété fondamentale des variables aléatoire est que les quantiles ne sont pas additifs.
Par exemple, si je lance un dé, j'ai un quantile de probabilité 1/6 et de valeur 6 : c'est à dire que j'ai une chance sur 6 s'obtenir "au moins 6". Mais si je lance deux dés, je n'ai pas une chance sur 6 d'obtenir "au moins 12", mais seulement une chance sur 36.

Les quantiles ne deviennent additif que si les variables sont parfaitement corrélées l'une à l'autre.

Pour illustrer le problème , j'imagine une petite province pétrolière, elle n'existe pas, les réserves (p90 et p10) et les noms des gisements sortent de mon imagination.

Gisement P90 P10
Entrecôte 2700 3800
Faux-Filet 750 1225
Bavette 550 900
Rumsteck 500 650
Onglet 200 275
Tendron 150 200
Hampe 75 150
Bajoue 65 120
Tournedos 40 80

Si l'on procède bêtement à la somme des réserves on trouve des totaux P10=7400 et P90=5030


Je procède à une petite simlulation montecarlo, le procédé consiste à effectiver N tirages des variables aléatoires, ici je fixe N = 10000, et à effectuer des statistiques sur les résultats. Je (enfin l'ordi!) procède donc à 10 000 tirages, pour chaque tirage, l'ordinateur prend pour chaque gisement une valeur aléatoire selon une loi gaussienne, dont la moyenne et l'écart-type sont fixés pour coller aux valeurs données de P90 et P10.

L'utilisation d'une loi normale (ou gaussienne) a pour conséquence que les réserves P50 sont exactement égales à la moyenne des P10 et P90, et à la valeur la plus probable, celà n'est pas vrai de façon générale (avec d'autres loi de répartition). Après les 10 000 tirages, j'obtient donc 10 000 valeurs de réserves possibles pour la somme des gisements, plus qu'à les ordonner pour obtenir la loi de probabilié du total.

J'obtient P90 = 5580, et P10 = 6850. Soit une fourchette nettement plus petites que celle obtenues en sommant les chiffres individuels : l'écart entre P10 et P90 est à peu près réduit de moitié !


Conclusion : en sommant bêtement les gisements, on surévalue considérablement les réserves possibles, mais on sous évalue les réserves prouvées !

[sceptique]

Intuitivement on arrive à ce résultat qualitativement :
La réalité est qq part entre P10 et P90 pour chaque gisement.
La probabilité est faible pour que tous les gisements soient proches de P90 (ou à l'inverse P10)
En réalité, il y en a qui sont plus près de P10 d'autres de P90
au cumul on se rapproche donc de la "moyenne".

Maintenant, ces P10 et P90 sont souvent assez fantaisistes et régulièrement réévalués à la hausse comme à la baisse.
D'un pays à l'autre la définition n'es pas non plus la même.
Bref, sur toutes ces données, il y a une marge d'incertitude considérable. La marge elle même étant incertaine

[Remundo]

Ramina, tu réfléchis trop !!

Attention à la surchauffe

[energy_isere]

Ramina, tu réfléchis trop !!

Attention à la surchauffe

En effet.

Les organisation comme EIA , BPreport se contentent d' additionner les reservoirs sans stats la dessus.

Sinon c' est un merdier incompréhensible pour le commun des décideurs.

de toute façon l' essentiel des reserves des pays ou c' est une compagnie d' état (Arabie Saoudite, Iran , UAE, .... ) sont des chiffres ''officiels'' secrets et ''declarés'' bidonnés qui sont invérifiables pour nous autres occidentaux.

[Alturiak]

Merci Ramina, j'ai apprécié l'info ! +10% (sur cet exemple, davantage probablement pour le monde entier) pour P90, ce n'est pas rien !

Hubbert avait-il pris en compte ceci pour ses prévisions ? Ou bien s'appuyait-il (uniquement ?) sur de l'analyse graphique ? En tous cas avec les chocs pétroliers l'analyse graphique pour le monde entier c'est rappé...

[Philippe]

A Raminagrobis,

les ingénieurs pétroliers des sociétés occidentales font cela en routine pour le patrimoine de leurs entreprises. Ce raisonnement permet de réduire considérablement la fourchette des réserves P90, P50 et P10, dès lors qu'il y a plusieurs gisements d'une taille similaire. C'est d'ailleurs bien ce que montre ton raisonnement.

Les lois naturelles ne sont pas gaussiennes. Elles sont lognormales (elles sont le résultat de la multiplication de paramètres indépendants, comme l'épaisseur, la superficie, la porosité, la saturation en hydrocarbures, le taux de récupération, etc.). Par conséquent, le P50 n'est pas la moyenne arithmétique des P90 et des P10.

Jean LAHERRERE écrit que la seule addition qui soit correcte est celle des valeurs moyennes pour chacun des gisements concernés, qui est à peu près un P40 (la valeur que l'on a 40% de chances d'atteindre). Les distributions lognormales surpondèrent, en effet, les gros objets par rapport aux petits. Le P40 est la somme des P40 des gisements pris individuellement. C'est, pour lui, le chiffre à retenir si on doit n'en donner qu'un.

[ni chaud ni froid]

Ça surchauffe peut-être, mais c'est loin d'être inintéressant...merci pour ses commentaires !

[Tovi]

Mais c'est 10 % de chances d'en trouver en plus...aussi bien qu'en moins non ?

[Remundo]

Ça surchauffe peut-être, mais c'est loin d'être inintéressant...merci pour ses commentaires !

oui je suis d'accord, c'est intellectuellement stimulant.

Mais... on va chercher des finesses statistiques sur des données largement pipées/vérolées dès le départ.

Ajouter 'bêtement' les réserves (elles-mêmes pas toujours bien claires) doit être à peu près ce qu'on peut faire de mieux sans aller chercher les petites bêtes.

[Raminagrobis]

Oui j'ai hésité sur la loi à utiliser. un pb avec la gaussienne ou loi normale, c'est que si on a un grand écart entre P10 et P90 (par exemple P90 = 10 Mb, P10 = 50 Mb) la queue gauche de la courbe en cloche passe en dessous de zéro, on a donc une certaine probabilité d'avoir des réserves négatives

[parisse]

Il n'est pas nécessaire de faire une simulation, une calculatrice de bureau suffit. Si je ne dis pas de bêtises, la somme de variables gaussiennes indépendantes est encore une gaussienne, dont la moyenne est la somme des moyennes et la variance la somme des variances. Ce qui donne ici un intervalle de largeur légèrement inférieure à 1300:
sqrt((3800-2700)^2+(1225-700)^2+(900-500)^2+(650-500)^2+(275-200)^2+(200-150)^2+(150-75)^2+(120-65)^2+(80-40)^2)
et centré autour de 6165.
Le fait que la moyenne est la somme des moyennes reste vrai quelle que soit la loi, et de même pour la variance (si les variables sont indépendantes). C'est juste la forme qui peut varier, mais il y a de bonnes chances que le théorème de la limite centrale s'applique (si le nombre de champs indépendants est assez grand) et que la forme ressemble à une gaussienne.